Ο Αντώνης Σαπουντζής γεννήθηκε στην Έδεσσα στις 19 Νοεμβρίου 1971 και ξεκίνησε την καριέρα του από τον Ηρακλή Έδεσσας.
Από εκεί μεταπήδησε αρχικά στον Εορδαϊκό κι έπειτα στον Εδεσσαϊκό, με τον οποίο το 1992 ανέβηκε στην Α΄ Εθνική.
Στη συνέχεια αγωνίστηκε διαδοχικά στον Άρη Θεσσαλονίκης 3 χρόνια και στον Πανιώνιο 5 χρόνια, με τον οποίο κατέκτησε το Κύπελλο Ελλάδος το 1998 κι έπαιξε στο Κύπελλο Κυπελλούχων το 1998-99 φτάνοντας ως τα προημιτελικά.
Ακολούθως μεταγράφηκε στον Ηρακλή Θεσσαλονίκης παίζοντας 2 χρονιές με 24 συμματοχές και 4 γκολ, στον ΟΦΗ άλλες 2 χρονιές και στην Κέρκυρα ακόμα 2 χρονιές. Τερμάτισε την πλούσια καριέρα του στον Ηρακλή Έδεσσας ως παίκτης-προπονητής.
Υπήρξε διεθνής με την Εθνική Ελπίδων και μια φορά με την Εθνική Ανδρών.